Rekker

Når nærmer en uendelig liste seg noe?

En tallfølge er en uendelig, ordnet liste med tall $a_1,a_2,a_3,\dots$, der hvert ledd er indeksert av et naturlig tall $n$. konvergens beskriver om denne listen nærmer seg en bestemt grenseverdi når $n$ vokser mot uendelig. Den presise definisjonen, ƒgrensedefinisjon for følge, formaliserer «nærmer seg vilkårlig nært»: for enhver toleranse $\epsilon >0$, uansett hvor liten, finnes det et sted $N$ i følgen hvorfra alle senere ledd $a_n$ ligger innenfor $\epsilon$ av grenseverdien $L$.

Eksempel: $a_n=\frac{1}{n}$ konvergerer mot $0$ — gitt en hvilken som helst toleranse $\epsilon$, holder det å velge $N>\frac{1}{\epsilon }$. Derimot vokser $a_n=(-1{)}^n$ verken mot uendelig eller nærmer seg ett tall; den hopper for alltid mellom $-1$ og $1$ og er derfor divergent. En følge som er monoton (alltid voksende eller alltid avtagende) og begrenset, konvergerer alltid — avkortningene $1,1.4,1.41,1.414,\dots$ av $\sqrt{2}$ er monotont voksende og begrenset ovenfra, og konvergerer garantert, selv før du vet nøyaktig hva grensen er. Bolzano–Weierstrass gir en beslektet garanti: enhver begrenset følge, monoton eller ikke, har minst én konvergent delfølge.

Denne garantien er selve grunnen til at kapittelet i det hele tatt kan bevise at rekker konvergerer uten å kjenne summen på forhånd: en rekke er definert som grensen av en følge av partialsummer, så alt du nettopp har lært om følgekonvergens brukes videre gjennom hele kapittelet — bare på en spesiell type følge.

Å summere uendelig mange tall

En rekke er summen av leddene i en følge, $\sum a_n$. Spørsmålet er om partialsummene — summen av de $n$ første leddene — konvergerer mot et endelig tall når $n\to \infty$.

geometrisk rekke er den viktigste rekken du kan summere helt ut i lukket form: ƒsum av geometrisk rekke. Så lenge forholdstallet oppfyller $|r|<1$, krymper hvert ledd geometrisk, og summen konvergerer mot $\frac{a}{1-r}$. Er $|r|\ge 1$, divergerer rekken — leddene blir aldri små nok til at summen stabiliserer seg. Eksempel: ${\sum }_{n=0}^{\infty }3\cdot (0.5{)}^n=\frac{3}{1-0.5}=6$.

p-rekke $\sum \frac{1}{n^p}$ er en annen referanserekke: den konvergerer for $p>1$ og divergerer for $p\le 1$. Spesialtilfellet $p=1$, den harmoniske rekken, divergerer — til tross for at leddene $\frac{1}{n}$ går mot null, vokser summen uten grense, bare veldig sakte. Begge rekkene brukes gjennomgående som sammenligningsgrunnlag når du senere skal avgjøre konvergens for mer kompliserte rekker.

Geometriske rekker dukker opp utenfor ren matematikk også. Et periodisk desimaltall som $0.7777\dots$ er egentlig en geometrisk rekke: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{7}{10^n}=\frac{7/10}{1-1/10}=\frac{7}{9}$. Samme struktur ligger bak nåverdiberegninger av en evigvarende betalingsstrøm i finansmatematikk, der hver fremtidige betaling diskonteres med en fast faktor $r$ per periode.

Konvergenstester: forholdstesten og alternerende rekker

De fleste rekker har ikke en lukket formel for partialsummen, så du trenger tester som avgjør konvergens uten å faktisk summere. ƒforholdstesten sammenligner et ledd med det neste: er grensen $L$ av forholdet $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ mindre enn $1$, konvergerer rekken; er $L>1$, divergerer den; er $L=1$, er testen ubestemt, og du må prøve noe annet. Testen er spesielt effektiv for rekker med fakulteter eller potenser, der forholdet forenkler kraftig — nettopp den typen ledd du møter i Taylor-rekker senere i kapittelet.

Eksempel på forholdstesten i praksis: for rekken ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n!}$ gir forholdet $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2}{n+1}$, som går mot $0$ når $n\to \infty$. Dermed er $L=0<1$, og rekken konvergerer — uansett hvor fort telleren $2^n$ vokser, vinner fakultetet i nevneren til slutt. Dette mønsteret, der fakultetet «slår» eksponentialveksten, er nøyaktig grunnen til at Maclaurin-rekkene for $e^x$ og $\sin x$ konvergerer for alle $x$, som du ser senere i kapittelet.

Rekker med vekslende fortegn har sin egen test. ƒalternativ rekke sier at en alternerende rekke konvergerer så lenge leddene $a_n$ (uten fortegn) synker monotont mot null. Dette gjelder selv om den ikke-alternerende versjonen av rekken divergerer: den harmoniske rekken divergerer, men den alternerende harmoniske rekken $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ konvergerer.

Absolutt og betinget konvergens

absolutt konvergens skiller mellom to styrkegrader av konvergens. En rekke konvergerer absolutt hvis $\sum |a_n|$ konvergerer, og bare betinget hvis $\sum a_n$ konvergerer mens $\sum |a_n|$ divergerer. Den alternerende harmoniske rekken fra forrige avsnitt er et klassisk eksempel på betinget konvergens: rekken selv konvergerer, men rekken av tallverdier er den divergerende harmoniske rekken. Absolutt konvergens er den sterkere egenskapen — den garanterer at rekken konvergerer mot samme sum uansett hvordan leddene omorganiseres, noe som ikke gjelder for betinget konvergente rekker, der en omrokkering faktisk kan endre summen.

Å tilnærme funksjoner med polynomer: Taylor- og Maclaurin-rekker

Polynomer er billige å regne med — du kan legge sammen, derivere og evaluere dem med rene aritmetiske operasjoner. Funksjoner som $\sin x$, $e^x$ eller $\ln (1+x)$ er ikke like billige å evaluere direkte. taylorpolynom løser dette ved å konstruere et polynom som matcher funksjonen og et gitt antall av dens deriverte i ett punkt $a$: ƒtaylor-formelen. Leddet av grad $k$ bruker den $k$-te deriverte av $f$ i $a$, delt på $k!$, ganget med $(x-a{)}^k$. Grad $0$ gir bare $f(a)$ — konstant tilnærming. Grad $1$ legger til $f^{\prime }(a)(x-a)$ — tangentlinjen. Hver ekstra grad legger til mer krumningsinformasjon.

Når senterpunktet er $a=0$, kalles Taylor-rekken en maclaurin-rekke. To standardeksempler du bør kunne utenat: ƒmaclaurin for e^x for eksponentialfunksjonen, og ƒmaclaurin for sin x for sinus. Legg merke til at Maclaurin-rekken for $\sin x$ bare har oddetallsledd — dette følger direkte av at $\sin x$ er en odde funksjon, $\sin (-x)=-\sin x$, som tvinger alle partallsledd til å forsvinne. Begge disse rekkene har uendelig konvergensradius: de konvergerer for alle reelle $x$, noe som gjør dem spesielt kraftige for numerisk beregning.

Eksempel: sett $x=0.1$ inn i ƒmaclaurin for e^x og ta med de tre første leddene: $e^{0.1}\approx 1+0.1+\frac{0.1^2}{2!}=1.105$. Den faktiske verdien er $1.10517\dots$ — allerede tre ledd gir fire riktige desimaler, fordi $0.1$ er lite og hvert påfølgende ledd er mye mindre enn det forrige.

Flere standard Maclaurin-rekker

De standard maclaurin-rekker du møter oftest utover $e^x$ og $\sin x$ deler samme mønster: fortegn, hvilke potenser som er med, og fakultetene i nevneren følger direkte av å derivere gjentatte ganger og evaluere i $x=0$.

Cosinus er den jevne motparten til sinus: siden $\cos x$ er en jevn funksjon ($\cos (-x)=\cos x$), forsvinner alle oddetallsledd, og du står igjen med ƒmaclaurin for cos x. Fortegnsmønsteret er $+,-,+,-,\dots$, akkurat som for $\sin x$, men forskjøvet én potens siden $\cos x$ starter i $1$ i stedet for $0$. Sjekk: ved $x=0.2$ gir de to første leddene $\cos (0.2)\approx 1-\frac{0.2^2}{2!}=0.98$, svært nær den faktiske verdien $0.980067\dots$.

En potensrekke er en rekke på formen $\sum c_n(x-a{)}^n$ — et «uendelig polynom» der koeffisientene $c_n$ kan avhenge av $n$ på hvilken som helst måte, ikke bare komme fra deriverte. Den enkleste potensrekken av alle er selve den geometriske rekken skrevet som en funksjon av $x$: ƒgeometrisk potensrekke, gyldig for $|x|<1$ — samme identitet som i avsnittet om geometriske rekker, bare lest som en funksjonsidentitet i stedet for en tallsum.

Den siste standardrekken er logaritmisk: ƒmaclaurin for ln(1+x), gyldig for $-1<x\le 1$. Merk at gyldighetsintervallet ikke er symmetrisk: rekken inkluderer $x=1$, men ikke $x=-1$, der den blir den divergerende harmoniske rekken med fortegnene snudd.

Potensrekker og konvergensradius

En potensrekke konvergerer ikke nødvendigvis for alle $x$. konvergensradius $R$ angir intervallet $|x-a|<R$ der rekken garantert konvergerer; utenfor divergerer den, og grensetilfellet $|x-a|=R$ må sjekkes separat — nøyaktig det som skjer med $\ln (1+x)$-rekken ved $x=1$ mot $x=-1$ i forrige avsnitt. Du finner $R$ ved å bruke forholdstesten direkte på leddene i rekken.

Eksempel: for ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ gir forholdstesten $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right|=|x|\cdot \frac{n}{n+1}\to |x|$ når $n\to \infty$. Konvergens krever $|x|<1$, så $R=1$ — akkurat rekken du ville fått ved å integrere $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ ledd for ledd, en teknikk du bruker aktivt i neste avsnitt. Legg merke til mønsteret fra kapittelet så langt: $e^x$ og $\sin x$ har $R=\infty$ fordi de ikke har noen singularitet noe sted, mens $\frac{1}{1-x}$, $\ln (1+x)$ og $\arctan x$ alle har $R=1$ — nøyaktig avstanden fra $0$ til det nærmeste punktet der funksjonen selv «går i stykker» ($x=1$ for de to første, og $x=\pm i$, altså avstand $1$, for $\arctan x$).

Leddvis derivasjon og integrasjon av potensrekker

Innenfor konvergensradiusen oppfører en potensrekke seg som om den var et vanlig, endelig polynom: du kan leddvis derivasjon og integrasjon den, ledd for ledd, og resultatet er en ny potensrekke med nøyaktig samme konvergensradius $R$ som den opprinnelige.

Dette gir deg et kraftig verktøy for å utlede nye rekker uten å regne ut en eneste ny deriverte fra bunnen av. Fra $\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ (der $R=1$) gir leddvis derivasjon $\frac{1}{(1-x{)}^2}={\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$ — du deriverer hvert ledd $x^n$ til $n{x}^{n-1}$, akkurat som du ville gjort med et polynom. Deriverer du én gang til, får du en rekke for $\frac{2}{(1-x{)}^3}$, og slik fortsetter det: leddvis derivasjon lar deg generere rekker for hele familien av funksjoner $\frac{1}{(1-x{)}^k}$ uten noen ny utregning fra Taylor-formelen.

Integrasjon fungerer like greit, og bekrefter faktisk rekken for $\ln (1+x)$ fra forrige avsnitt: integrerer du $\frac{1}{1+x}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n$ (geometrisk rekke med $r=-x$) ledd for ledd fra $0$ til $x$, får du nøyaktig ƒmaclaurin for ln(1+x) igjen — de to standardrekkene henger sammen via akkurat dette verktøyet.

Det vakreste eksempelet er likevel arctan. Start med $\frac{1}{1+x^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}$ — samme geometriske mønster som over, bare med $-x^2$ i stedet for $x$ som forholdstall, så konvergensradiusen er fortsatt $R=1$. Integrer begge sider ledd for ledd fra $0$ til $x$: venstresiden blir $\arctan x$, siden $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$, og høyresiden blir ƒarctan-rekken (leibniz). Setter du inn $x=1$, får du leibniz-rekken: $\arctan 1=\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ — et av de mest kjente resultatene i matematikken, og et direkte produkt av å integrere en potensrekke ledd for ledd. Legg merke til at $x=1$ ligger akkurat på kanten av konvergensområdet ($R=1$); at rekken faktisk konvergerer der, er ikke automatisk garantert av forholdstesten alene, men følger av at leddene $\frac{1}{2n+1}$ synker mot null slik den alternerende rekke-testen krever.

Feilestimat i praksis: hvor mange ledd trenger du?

Et Taylorpolynom av grad $n$ er ikke funksjonen selv — det er en tilnærming, og restledd måler avviket. ƒlagrange-rest gir en eksplisitt formel for restleddet: uttrykket ser ut som neste ledd i rekken, men med den deriverte evaluert i et ukjent punkt $\xi$ mellom $a$ og $x$ i stedet for i $a$ selv. Dette lar deg begrense approksimasjonsfeilen uten å kjenne $\xi$ eksakt — du finner en øvre skranke for $|f^{(n+1)}(\xi )|$ på det aktuelle intervallet og setter inn.

I praksis brukes restleddet ofte baklengs: du fastsetter en toleranse og løser for hvor mange ledd $n$ du trenger. For $\sin x$-rekken er alle deriverte begrenset av $1$ i tallverdi (de er selv $\pm \sin x$ eller $\pm \cos x$), så $|R_n(x)|\le \frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}$. Skal du beregne $\sin (0.5)$ med feil under $10^{-4}$, tester du $n$ stigende: med $n=3$ blir skranken $\frac{0.5^4}{4!}\approx 0.0026$ — for stor. Med $n=4$: $\frac{0.5^5}{5!}\approx 0.00026$ — fortsatt for stor. Med $n=5$: $\frac{0.5^6}{6!}\approx 0.0000217$ — under toleransen. Fire ledd (til og med $x^5$-leddet) holder altså.

Samme oppskrift brukes for enhver funksjon der du kan begrense den $(n+1)$-te deriverte: finn en skranke $M$ for $|f^{(n+1)}(\xi )|$ på det aktuelle intervallet, sett den inn i ƒlagrange-rest, og øk $n$ til uttrykket er under toleransen din. For $e^x$ på et intervall $[-1,1]$ kan du bruke $M=e$ (den deriverte $e^{\xi }$ er størst i $\xi =1$), og finne tilsvarende hvor mange ledd som trengs for en gitt nøyaktighet i $e^{0.9}$ eller $e^{-0.5}$. Dette er nøyaktig prinsippet bak hvordan kalkulatorer og datamaskiner regner ut $\sin$, $\cos$ og $e^x$ med garantert nøyaktighet: velg nok ledd av Maclaurin-rekken til at restleddet garantert er under maskinens presisjon.