Funksjoner

Sammensetning: å putte en funksjon inn i en annen

Anta at du har to funksjoner: $f(x)=2x$ og $g(x)=x+3$. Regner du ut $f(g(1))$, setter du først inn $g(1)=4$, og deretter $f(4)=8$. Denne operasjonen — å la utfallet av én funksjon bli input til en annen — kalles funksjonssammensetning: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. ƒfunksjonssammensetning er selve definisjonen, men den skjuler et viktig poeng: rekkefølgen betyr noe. Med de samme $f$ og $g$ over blir $(g\circ f)(x)=g(2x)=2x+3$, som er noe helt annet enn $(f\circ g)(x)=2x+6$.

Definisjonsmengden til $f\circ g$ er ikke automatisk hele definisjonsmengden til $g$. Du trenger at $g(x)$ faktisk havner der $f$ er definert. Er $f(x)=\sqrt{x}$ og $g(x)=x-4$, må $g(x)\ge 0$, altså $x\ge 4$, for at $(f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}$ skal gi mening. Sammensetning er derfor både en regneoperasjon og en bokføring av definisjonsmengder.

Inverse funksjoner: å reversere en regel

Hvis $f$ sender $x$ til $y$, skal invers funksjon $f^{-1}$ sende $y$ tilbake til $x$. Formelt: $f(x)=y$ medfører $f^{-1}(y)=x$. Kombinerer vi de to, får vi selve testen på at en foreslått invers stemmer: ƒinvers-kriterium, altså $f^{-1}(f(x))=x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$ — og tilsvarende $f(f^{-1}(y))=y$.

Ikke alle funksjoner har en invers. Problemet oppstår når to forskjellige $x$-verdier gir samme funksjonsverdi — da vet $f^{-1}$ ikke hvilken av dem den skal returnere. En funksjon som unngår dette, der ulike $x$ alltid gir ulike $f(x)$, kalles injektiv funksjon (eller én-til-én). Grafisk svarer det til at ingen vannrett linje treffer grafen mer enn én gang.

Et gjennomregnet eksempel: la $f(x)=3+\frac{1}{x}$. Sett $y=3+\frac{1}{x}$ og løs for $x$. Trekk fra 3 på begge sider: $y-3=\frac{1}{x}$. Snu brøken: $x=\frac{1}{y-3}$. Bytter vi navn på variabelen for å skrive inversen som en funksjon av $x$, får vi $f^{-1}(x)=\frac{1}{x-3}$. Legg merke til hvordan definisjons- og verdimengde bytter plass: definisjonsmengden til $f$ er alle $x\ne 0$, verdimengden til $f$ er alle $y\ne 3$, og dermed blir definisjonsmengden til $f^{-1}$ nettopp $D_{f^{-1}}=V_f=(3,\infty )$ — forutsatt at $f$ på forhånd er begrenset til $x>0$, slik at den er injektiv der. Grafen til $f^{-1}$ er alltid speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y=x$, siden det å bytte rollene til $x$ og $y$ er nøyaktig det speilingen gjør.

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon vokser (eller avtar) med en fast prosentandel per tidsenhet, ikke med et fast beløp. eksponentialfunksjon skrives $f(x)=a\cdot b^x$, der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren. Er $b>1$ vokser $f$; er $0<b<1$ avtar $f$. Logaritmen er inversen: hvis $b^x=y$, er $x={\log }_b(y)$. Den naturlige logaritmen $\ln$ bruker grunntall $e\approx 2,71828$ og er inversen til $e^x$.

Regnereglene følger direkte av potensreglene, fordi logaritmen «spoler tilbake» en multiplikasjon til en sum: $\ln (xy)=\ln x+\ln y$, $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$, og $\ln (x^p)=p\cdot \ln x$. Disse tre reglene løser de fleste likninger der den ukjente sitter i eksponenten, siden de lar deg flytte eksponenten ned foran logaritmen.

Et typisk anvendt spørsmål er hvor lang tid noe bruker på å doble seg. Har en størrelse vekstmodellen $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$, finner vi fordoblingstiden ved å løse $2N_0=N_0\cdot e^{kt}$. Del bort $N_0$: $2=e^{kt}$. Ta $\ln$ på begge sider: $\ln 2=kt$. Løs for $t$: $t=\frac{\ln 2}{k}$. Samme regning med et minustegn foran $k$ gir halveringstid i stedet — grunnlaget for alt fra radioaktiv nedbrytning og medisindosering til rentesregning og bakterievekst. Legg merke til at svaret ikke avhenger av startverdien $N_0$ — en størrelse som vokser eksponentielt bruker like lang tid på å doble seg fra 10 til 20 som fra 1000 til 2000.

Trigonometri fra bunnen: radianer og spesialvinkler

Fra videregående kjenner du $\sin$, $\cos$ og $\tan$ definert på en enhetssirkel eller i en rettvinklet trekant. Det som er nytt her, er å måle vinkler i radian i stedet for grader. Én radian er vinkelen som gir en bue lik radien på enhetssirkelen. En hel omdreining er $2\pi$ radianer ($=360^{\circ }$), en halv omdreining er $\pi$ radianer ($=180^{\circ }$). Omregningen er enkel: $\text{rad}=\text{grad}\cdot \frac{\pi }{180}$. Grunnen til at kalkulus foretrekker radianer, er at grenseverdien ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$ kun stemmer når $x$ måles i radianer — hele derivasjonsregelen for $\sin$ og $\cos$ hviler på dette faktumet.

Noen vinkler går igjen så ofte at det lønner seg å kunne dem utenat: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, og ved $45^{\circ }$ er $\sin$ og $\cos$ like store: $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Identiteter kobler funksjonene sammen — ƒskift-identitet for cosinus sier at $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$, altså at en forskyvning på en kvart omdreining bytter cosinus mot minus sinus. Slike identiteter er nyttige når du skal forenkle et uttrykk eller gjenkjenne en graf som en forskjøvet versjon av en annen.

I praktiske oppgaver er det ofte $\arctan$ som gir svaret, ikke $\sin$ eller $\cos$. Skal du finne en vinkel ut fra to kjente sider i en rettvinklet trekant — for eksempel høyde og grunnlinje — bruker du $\arctan \left(\frac{\text{motsta˚ende}}{\text{hosliggende}}\right)$. Det gir vinkelen direkte, uten at du først må regne ut en sinus- eller cosinusverdi og lete den opp baklengs i en tabell.

Polarkoordinater: et annet blikk på planet

Til nå har du beskrevet et punkt i planet med et par $(x,y)$ — hvor langt til høyre og hvor langt opp. polarkoordinater beskriver i stedet punktet med $(r,\theta )$: hvor langt fra origo ($r$) og i hvilken retning ($\theta$, målt fra positiv $x$-akse). De to systemene henger sammen gjennom en rettvinklet trekant der $r$ er hypotenusen: ƒpolar til kartesisk gir kartesiske koordinater fra polare, mens ƒkartesisk til polar gjør det motsatte.

To eksempler viser hvordan dette fungerer i praksis. Punktet med $r=2$ og $\theta =0$ ligger 2 enheter langs positiv $x$-akse, altså $(x,y)=(2\cdot \cos 0,2\cdot \sin 0)=(2,0)$. Punktet med $r=\sqrt{2}$ og $\theta =\frac{\pi }{4}$ ligger i $(x,y)=\left(\sqrt{2}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{4}\right),\sqrt{2}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\right)=\left(\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(1,1)$.

Å gå motsatt vei — fra $(x,y)$ til $(r,\theta )$ — krever litt mer omtanke. Radiusen er alltid $r=\sqrt{x^2+y^2}$, uten unntak, siden Pytagoras ikke bryr seg om fortegn. Vinkelen er derimot ikke bare $\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$: $\arctan$ gir alltid en verdi mellom $-\frac{\pi }{2}$ og $\frac{\pi }{2}$, altså kun vinkler i første og fjerde kvadrant. Ligger punktet i andre eller tredje kvadrant ($x$ negativ), må du legge til $\pi$ på svaret $\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$ gir deg, ellers peker vinkelen din feil vei i planet. Sjekk derfor alltid fortegnet på $x$ og $y$ før du stoler blindt på lommeregnerens arctan-knapp.

Polarkoordinater er ikke bare en notasjonsmessig krumspring. Kurver som er kompliserte å beskrive i $(x,y)$ — spiraler, roser, kardioider — får ofte en kort og gjennomsiktig ligning i $(r,\theta )$, fordi rotasjonssymmetri om origo uttrykkes naturlig gjennom vinkelen $\theta$ alene, uten å blande inn $x$ og $y$ hver for seg.

Funksjonstransformasjoner: skift, skalering og fullføring av kvadratet

Grafen til $f(x-c)$ er grafen til $f$ flyttet $c$ enheter mot høyre; $f(x)+c$ flytter den $c$ enheter opp; $-f(x)$ speiler den om $x$-aksen; $f(-x)$ speiler den om $y$-aksen. Å kunne lese av disse transformasjonene direkte fra formelen sparer deg for å tegne grafen punkt for punkt på nytt hver gang et uttrykk endrer seg litt.

Et andregradsuttrykk som $x^2-6x+1$ skjuler denne strukturen til det er omskrevet. fullføre kvadratet betyr å skrive uttrykket på formen $(x-h{)}^2+k$, som eksponerer toppunktet direkte. Med $x^2-6x+1$: halver koeffisienten foran $x$ ($-\frac{6}{2}=-3$), kvadrer den ($9$), og legg til og trekk fra samtidig: $x^2-6x+9-9+1=(x-3{)}^2-8$. Grafen til $f(x)=(x-3{)}^2-8$ er dermed standardparabelen $y=x^2$ flyttet 3 enheter til høyre og 8 enheter ned, med bunnpunkt i $(3,-8)$.

Kombinasjonen av trigonometri og transformasjoner dukker stadig opp i ordoppgaver. Et klassisk eksempel: du står 20 meter fra et hus og måler vinkelen opp til mønet til $35^{\circ }$. Er øyehøyden neglisjerbar, gir $\tan (35^{\circ })=\frac{\text{høyde}}{20}$ at høyden er $20\cdot \tan (35^{\circ })\approx 14$ meter. Snur du problemet — du kjenner høyden og avstanden, og vil ha vinkelen — er det $\arctan$ som gjør jobben: $\text{vinkel}=\arctan \left(\frac{\text{høyde}}{\text{avstand}}\right)$. Denne typen takvinkel- og siktelinje-beregning er akkurat det $\arctan$ er laget for, og binder sammen alt kapittelet har vist: sammensetning og inversjon ($\arctan$ er selve inversen til $\tan$ begrenset til et injektivt intervall), trigonometri i rettvinklede trekanter, og en presis forståelse av hvilken funksjon som svarer på hvilket spørsmål.