Komplekse tall

Hvorfor komplekse tall?

Likningen $x^2=-1$ har ingen løsning blant de reelle tallene — et kvadrat kan aldri bli negativt. I stedet for å si at likningen mangler løsning, utvider matematikken tallsystemet: vi innfører imaginær enhet $i$, definert ved $i^2=-1$, og bygger opp de komplekse tallene som alle uttrykk $z=a+bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. $a$ kalles realdelen, skrevet $\mathrm{Re}z$, og $b$ imaginærdelen, $\mathrm{Im}z$.

Dette er ikke bare et abstrakt triks. Komplekse tall dukker opp igjen og igjen senere i pensum — blant annet når andregradslikninger og polynomer får negative diskriminanter (seksjon 8.5), og når differensiallikninger med svingende løsninger skal analyseres (kapittel 9). Regnereglene er overraskende enkle: du regner med $i$ akkurat som med en vanlig variabel, og bruker $i^2=-1$ til å forenkle underveis.

Kartesisk og polar form

Formen $z=a+bi$ kalles den kartesiske formen, fordi den svarer direkte til et punkt $(a,b)$ i planet — realdelen langs den vannrette aksen, imaginærdelen langs den loddrette. Denne geometriske tolkningen åpner for en helt annen måte å beskrive samme tall på: i stedet for koordinater $(a,b)$, oppgi avstanden fra origo og vinkelen fra positiv realakse.

Det gir polarform og eulers formel: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$, der ƒeulers formel / polarform. Her er $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ modulusen (avstanden fra origo), og $\theta =\arg (z)$ er argumentet (vinkelen). Sammenhengen mellom formene er $a=r\cos \theta$ og $b=r\sin \theta$.

Eksempel: $z=1+i$. Modulus er $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, og siden både realdel og imaginærdel er positive og like store, ligger tallet i første kvadrant med $\theta =\pi /4$ (45°). Polarformen blir $z=\sqrt{2}\cdot e^{i\pi /4}$. Sjekk andre vei: $z=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot 3\pi /4}$ tilsvarer $r=\sqrt{2}$ og $\theta =3\pi /4$ (135°) — det gir $a=\sqrt{2}\cdot \cos (135°)=-1$ og $b=\sqrt{2}\cdot \sin (135°)=1$, altså $z=-1+i$.

Legg merke til at argumentet $\theta$ ikke er entydig bestemt — $\theta$, $\theta +2\pi$, $\theta -2\pi$ og så videre gir alle samme punkt i planet. Konvensjonen er som regel å oppgi hovedargumentet, verdien av $\theta$ som ligger i intervallet $(-\pi ,\pi ]$. For $z=-1-i$, som ligger i tredje kvadrant, er hovedargumentet $\theta =-3\pi /4$ (ikke $5\pi /4$), og $r=\sqrt{2}$ fortsatt. Å holde styr på hvilket kvadrant tallet ligger i er den vanligste feilkilden når man regner om fra kartesisk til polar form — arctan alene skiller ikke mellom første og tredje, eller mellom andre og fjerde kvadrant.

Aritmetikk: addisjon, multiplikasjon og divisjon

Addisjon og subtraksjon foregår komponentvis, akkurat som med vektorer: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$. Geometrisk er dette parallellogramregelen fra vektorregning.

Multiplikasjon i kartesisk form følger vanlig algebra, med $i^2=-1$ satt inn underveis: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$. Eksempel: $(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$.

Multiplikasjon blir langt ryddigere i polarform: multiplikasjon i polarform sier at moduli multipliseres og argumenter adderes, ƒmultiplikasjon i polarform. Eksempel: $z_1=2\cdot e^{i\pi /6}$ og $z_2=3\cdot e^{i\pi /3}$. Produktet er $z_1\cdot z_2=6\cdot e^{i(\pi /6+\pi /3)}=6\cdot e^{i\pi /2}=6i$ — en ren imaginærakse-vektor med lengde 6. Geometrisk betyr multiplikasjon med et komplekst tall en skalering (med modulusen) kombinert med en rotasjon (med argumentet). Divisjon følger samme mønster motsatt vei: ƒdivisjon i polarform.

Konjugat

konjugat til $z=a+bi$ er $\bar{z}=a-bi$ — speilbildet om realaksen. I polarform snur konjugering fortegnet på vinkelen: $\bar{z}=r{e}^{-i\theta }$. Konjugatet har en nyttig egenskap: ƒkonjugat-egenskap. Produktet av et tall og dets konjugat blir alltid reelt og lik modulus i annen.

Denne egenskapen gir en metode for divisjon i kartesisk form: for å regne ut $1/(a+bi)$, utvid brøken med konjugatet av nevneren. Eksempel: $1/(3+4i)=(3-4i)/((3+4i)(3-4i))=(3-4i)/25=0.12-0.16i$. Nevneren $(3+4i)(3-4i)=3^2+4^2=25$ er nettopp $|3+4i{|}^2$.

Røtter av komplekse tall

Å finne kvadratrøtter — eller mer generelt $n$-te røtter — av et komplekst tall er enklest i polarform. n-te røtter av $z=r{e}^{i\theta }$ er løsningene av likningen $w^n=z$, og de er gitt ved ƒn-te røtter-formel. Legg merke til at formelen gir nøyaktig $n$ forskjellige røtter, én for hver verdi av $k$ fra $0$ til $n-1$ — og at de alle ligger på en sirkel med radius $r^{1/n}$, jevnt fordelt med vinkelavstand $2\pi /n$ mellom seg.

Eksempel: finn kvadratrøttene til $4i$. Skriv først $4i$ på polarform: modulus $4$, argument $\pi /2$, altså $4i=4\cdot e^{i\pi /2}$. Med $n=2$ gir formelen $w_k=4^{1/2}\cdot e^{i(\pi /2+2\pi k)/2}$ for $k=0,1$. For $k=0$: $w_0=2\cdot e^{i\pi /4}=2(\cos 45°+i\sin 45°)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$. For $k=1$: $w_1=2\cdot e^{i5\pi /4}=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$. Sjekk: $(\sqrt{2}+\sqrt{2}i{)}^2=2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}i+2i^2=2+4i-2=4i$. Stemmer.

Formelen fungerer identisk for høyere $n$. Finn kubikkrøttene til $-8$. Polarform: $-8=8\cdot e^{i\pi }$ (modulus $8$, argument $\pi$ siden tallet ligger på negativ realakse). Med $n=3$ blir røttene $w_k=8^{1/3}\cdot e^{i(\pi +2\pi k)/3}=2\cdot e^{i(\pi +2\pi k)/3}$ for $k=0,1,2$. For $k=0$: vinkel $\pi /3$ (60°), $w_0=2(\cos 60°+i\sin 60°)=1+i\sqrt{3}$. For $k=1$: vinkel $\pi$ (180°), $w_1=2(\cos 180°+i\sin 180°)=-2$ — den kjente, reelle kubikkroten. For $k=2$: vinkel $5\pi /3$ (300°), $w_2=2(\cos 300°+i\sin 300°)=1-i\sqrt{3}$. Legg merke til strukturen: $-2$ er reell, mens $w_0$ og $w_2$ er et konjugert par. Det er ikke tilfeldig — $-8$ er et reelt tall, og akkurat som for polynomlikninger med reelle koeffisienter kommer ikke-reelle røtter i konjugerte par også her.

Enhetsrøtter

Et spesialtilfelle av $n$-te røtter er enhetsrøtter — løsningene av $z^n=1$. Siden $1=1\cdot e^{i\cdot 0}$, gir formelen $w_k=e^{i\cdot 2\pi k/n}$ for $k=0,\dots ,n-1$. Alle enhetsrøtter ligger på enhetssirkelen (radius $1$), jevnt fordelt som hjørnene i en regulær $n$-kant, og $w_0=1$ er alltid med.

For $n=4$ gir dette de fire løsningene av $z^4=1$: $w_0=e^{i\cdot 0}=1$, $w_1=e^{i\pi /2}=i$, $w_2=e^{i\pi }=-1$, og $w_3=e^{i3\pi /2}=-i$. De fire punktene $1,i,-1,-i$ danner et kvadrat rundt origo — geometrien avslører umiddelbart at det er nøyaktig fire løsninger, uten at man trenger å faktorisere $z^4-1$ for hånd.

Kvadratiske likninger med komplekse løsninger

abc-formelen fungerer helt uendret når diskriminanten er negativ — man trenger bare la seg innføre kvadratroten av et negativt tall via $i$. Eksempel: $x^2-2x+2=0$ har diskriminant $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4$. Da blir $x=(2\pm \sqrt{-4})/2=(2\pm 2i)/2=1\pm i$.

Legg merke til mønsteret: de to løsningene $1+i$ og $1-i$ er konjugerte av hverandre. Dette er ikke tilfeldig — det er en generell konsekvens av at likningens koeffisienter er reelle, og henger sammen med algebraens fundamentalteorem i neste avsnitt.

Et rent tallmessig enklere eksempel: $x^2+4=0$ gir $x^2=-4$, altså $x=\pm \sqrt{-4}=\pm 2i$. Her er $b$-leddet null i abc-formelen, så løsningene blir rent imaginære i stedet for et konjugert par med reell del forskjellig fra null — men de er fortsatt konjugerte av hverandre: $2i$ og $-2i$.

Algebraens fundamentalteorem

algebraens fundamentalteorem er et av de mest grunnleggende resultatene i algebra: ethvert polynom av grad $n\ge 1$ med komplekse koeffisienter har nøyaktig $n$ røtter i de komplekse tallene, talt med multiplisitet. Med andre ord — i motsetning til over de reelle tallene, der et polynom kan mangle nullpunkter helt — faktoriseres ethvert polynom fullstendig så snart man tillater komplekse røtter.

Har polynomet reelle koeffisienter, kommer det i tillegg en bonus: ikke-reelle røtter opptrer alltid parvis konjugert. Hvis $z$ er en rot, er $\bar{z}$ automatisk også en rot. Det er nøyaktig det vi så for $x^2-2x+2$ over.

Eksempel på faktorisering: $P(z)=(z-3{)}^2(z-i)(z+i)$ er et polynom av grad $4$. Multipliser de to siste faktorene: $(z-i)(z+i)=z^2-i^2=z^2+1$, som er et reelt uttrykk selv om faktorene hver for seg er komplekse. Dermed er $P(z)=(z-3{)}^2(z^2+1)$, og hele polynomet har reelle koeffisienter når det ganges helt ut. Røttene er $z=3$ (med multiplisitet $2$), $z=i$ og $z=-i$ — fire røtter i alt, akkurat som graden krever, og de to ikke-reelle røttene $i$ og $-i$ er konjugerte av hverandre.

Differenslikninger: Fibonacci og det gylne snitt

Det siste temaet i kapittelet er et av de mest elegante i hele boken. En differenslikning knytter et ledd i en tallfølge til ett eller flere tidligere ledd. Det klassiske eksemplet er Fibonacci-følgen: ƒfibonacci-rekursjon. Med $x_0=0$ og $x_1=1$ gir rekursjonen følgen $0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$ — hvert tall er summen av de to foregående.

Hvordan finner man en eksplisitt formel for $x_n$, uten å regne seg gjennom hele følgen? Metoden er analog med løsning av differensiallikninger (kapittel 9): gjett en løsning på formen $x_n=C{r}^n$, sett den inn i likningen, og se hva som må gjelde for $r$. For Fibonacci gir dette $C{r}^{n+1}=C{r}^n+C{r}^{n-1}$; del på $C{r}^{n-1}$, og du sitter igjen med karakteristisk likning (differenslikninger): $r^2=r+1$, altså $r^2-r-1=0$.

Denne andregradslikningen har to reelle røtter: $r_1=(1+\sqrt{5})/2\approx 1.618$ og $r_2=(1-\sqrt{5})/2\approx -0.618$. Den første, $r_1$, er det berømte gylne snitt, gjerne kalt $\phi$. Når den karakteristiske likningen har to distinkte røtter, er differensliknings generelle løsning ƒgenerell løsning av lineær differenslikning, og konstantene $A$ og $B$ bestemmes fra initialbetingelsene $x_0$ og $x_1$. For Fibonacci gir dette $A=1/\sqrt{5}$ og $B=-1/\sqrt{5}$, altså nettopp ƒbinets formel: $x_n=({\phi }^n-{\psi }^n)/\sqrt{5}$, med $\psi =(1-\sqrt{5})/2$. Sjekk formelen for $n=1$: $(\phi -\psi )/\sqrt{5}=\sqrt{5}/\sqrt{5}=1$, som stemmer med $x_1=1$.

Det som gjør differenslikninger relevante for et kapittel om komplekse tall, er hva som skjer når den karakteristiske likningen IKKE har reelle røtter. Da er røttene et konjugert par på formen $r=\rho e^{i\theta }$, og løsningen blir en oscillerende følge $x_n={\rho }^n(C\cos (n\theta )+D\sin (n\theta ))$ i stedet for en ren eksponentiell vekst. Dette er samme fenomen som dempede svingninger i differensiallikninger — komplekse karakteristiske røtter gir alltid opphav til trigonometriske ledd i løsningen.

Et konkret eksempel gjør dette håndfast. Se på differenslikningen $x_{n+1}=x_n-x_{n-1}$, med $x_0=0$ og $x_1=1$. Karakteristisk likning: $r^2=r-1$, altså $r^2-r+1=0$. Diskriminanten er $1-4=-3$, negativ, så røttene er komplekse: $r=(1\pm i\sqrt{3})/2$. Skriv dem på polarform: modulus $\rho =\sqrt{(1/2{)}^2+(\sqrt{3}/2{)}^2}=\sqrt{1/4+3/4}=\sqrt{1}=1$, og argument $\theta =\pi /3$ (siden $\cos (\pi /3)=1/2$ og $\sin (\pi /3)=\sqrt{3}/2$). Fordi $\rho =1$ nøyaktig, blir følgen verken voksende eller avtagende — den er rent periodisk, med periode $2\pi /\theta =6$. Regner du ut leddene direkte fra rekursjonen, ser du nettopp det: $0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,\dots$ — følgen gjentar seg selv etter $6$ ledd, nøyaktig som $\theta =\pi /3$ forutsier.

Videre anvendelser

Grunnen til at komplekse eksponentialfunksjoner er så nyttige, er at de deriveres akkurat som reelle eksponentialfunksjoner. For $f(t)=e^{(u+iv)t}$, med $u$ og $v$ reelle konstanter, gjelder $f^{\prime }(t)=(u+iv)\cdot e^{(u+iv)t}$ — nøyaktig samme regel som for $e^{kt}$ med reell $k$. Dette er ikke en tilfeldighet, men følger direkte av Eulers formel og kjerneregelen brukt på realdel og imaginærdel hver for seg.

Denne enkle observasjonen er selve grunnen til at komplekse tall dukker opp i løsningen av differensiallikninger med komplekse karakteristiske røtter, som du møter i kapittel 9: å lete etter løsninger på formen $e^{rt}$ fungerer identisk enten $r$ er reell eller kompleks, og når $r$ er kompleks, gir Eulers formel automatisk de oscillerende sinus/cosinus-løsningene man venter fysisk fra for eksempel en fjær eller en svingekrets.